%----------------- TEXT -----------------
% \subsection*{1.9. French}

La matrice $\Lambda^{-1} \partial_{\tau'} \Lambda$ est à coefficients dans $\mathcal{O}'$, de sorte que soit

\begin{enumerate}
\item[(a)] $s \leq 0$, et $\Gamma'$ est à coefficients dans $\mathcal{O}'$,
\item[(b)] $s > 0$, $-v(\Gamma') = s$, et la "partie la plus polaire" $\psi$ de $\Gamma'$ est non nilpotente, de sorte que $-v(\Gamma'^l) \geq ls$.
\end{enumerate}

Par définition de $\Omega$ (1.6), $w'$ présente un pôle simple. 

Dans le cas (a), on en conclut par récurrence sur $l$ que
\[
v(\nabla_{\tau'}^l e') \geq 0.
\]

On vérifie par récurrence sur $m$ que dans la base $e'$
\[
\nabla_{\tau'}^m = \sum_{0 \leq k \leq m} (\Gamma'^{m-k} \Delta_k) \partial_{\tau'}^k,
\]
où $\Delta_k$ est somme algébrique de produits d'au plus $m - k - 1$ facteurs $\partial_{\tau'}^i \Gamma$. 

En particulier,
\[
\nabla_{\tau'}^m e' = \Gamma'^m + \delta_m
\]
et, dans le cas (b),
\[
-v(\nabla_{\tau'}^m e') = ms.
\]

Ceci vérifie (1.9.2) sur $\mathcal{O}'$ (pour des bases convenables), et 1.9.6 résulte dès lors de 1.9.3.

Le théorème 1.9 résulte de la proposition suivante et de 1.3.

%----------------- TRANSLATION -----------------
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% \subsection*{1.9. English}


The matrix $\Lambda^{-1} \partial_{\tau'} \Lambda$ has entries in $\mathcal{O}'$, so either

\begin{enumerate}
\item[(a)] $s \leq 0$, and $\Gamma'$ has entries in $\mathcal{O}'$,
\item[(b)] $s > 0$, $-v(\Gamma') = s$, and the "most polar part" $\psi$ of $\Gamma'$ is non-nilpotent, so that $-v((\Gamma')^l) \geq l s$.
\end{enumerate}

By the definition of $\Omega$ (1.6), $w'$ has a simple pole.

In case (a), we conclude by induction on $l$ that
\[
v(\nabla_{\tau'}^i e') \geq 0.
\]

One verifies by induction on $m$ that, in the basis $e'$,
\[
\nabla_{\tau'}^m = \sum_{0 \leq k \leq m} (\Gamma'^{\,m-k} \Delta_k) \partial_{\tau'}^k,
\]
where $\Delta_k$ is an alternating sum of products of at most $m - k - 1$ factors of the form $\partial_{\tau'}^i \Gamma$.

In particular,
\[
\nabla_{\tau'}^m e' = (\Gamma')^m + \delta_m,
\]
and in case (b),
\[
-v(\nabla_{\tau'}^m e') = m s.
\]

This establishes (1.9.2) over $\mathcal{O}'$ (for suitable bases), and Lemma 1.9.6 then follows from Lemma 1.9.3.

Theorem 1.9 follows from the following proposition and from Lemma 1.3.

